Téma

Větší nekonečna a menší nekonečna

Nekonečno nás vzrušuje odjakživa. Ať už v podobě nesmrtelnosti, nekonečného bohatství nebo nekonečného zdroje energie. A jak vypadá taková snaha dosáhnout světa bez hranic?
AddThis

Georg Cantor

Matematik

Narozen: 3. března 1845 v Petrohradu


Zemřel: 6. ledna 1918 v Halle


This custom box will need some extra content to explain this equation as the mathamatic symblos , subscripts and super scripts canot all be used.

Větší a menší nekonečno vypadá na první pohled jako pitomost. Tedy vypadala až do konce 19. století, než se do věci vložil Georg Cantor. Jeho teorie je celkem jednoduchá: Nejdřív prozkoumal nekonečné množiny – dejme tomu celých kladných čísel. Zjistil, že je jich sice nekonečně mnoho, ale jejich množství lze spočítat (za předpokladu, že budeme počítat nekonečně dlouho). Legrační je, že když budeme počítat jenom některá z celých kladných čísel – dejme tomu čísla sudá – dopočítáme se ke stejně velkému nekonečnu. Zrovna takové nekonečno napočítáme i v případě čísel záporných, jejich mocnin, zlomků, a dokonce i takových těch podivných čísel s nekonečně mnoha desetinnými místy, jako je třeba pí, kterým se říká iracionální. Tomu, kdo nevěří, Cantor doporučil, ať si všechna čísla zkusí zapsat do tabulky. Třeba v případě zlomků zkonstruujeme nekonečnou tabulku tak, že v řádcích zvyšujeme hodnotu číslíčka nad zlomkovou čarou a ve sloupcích hodnotu toho spodního.

Když tak budete pokračovat do nekonečna, sepíšete nakonec všechny zlomky, co existují, a když pak věnujete další nekonečně dlouhý čas spočítání okének tabulky, zjistíte i jejich počet. Existuje ovšem i množina čísel, která spočetná není. Jinými slovy, nedokážeme sestavit takovou tabulku, ve které by byla taková čísla všechna. Jednou takovou množinou jsou čísla, kterým se říká reálná. 

Šokující zprávu, že reálná čísla jsou nespočetná, oznámil George Cantor 7. prosince 1873 v dopise panu Richardu Dedekindovi, který reálná čísla vymyslel. Dedekind byl Cantorův kamarád, který s ním sdílel nejednu matematickou lumpárnu, ale něčemu tak nehoráznému by se pravděpodobně zdráhal uvěřit, nebýt toho, že Cantor připsal i důkaz. Viz sloupec vlevo. Komu to z něj náhodou není jasné, ať si zkusí představit nekonečně dlouhý sloupec pod sebou napsaných čísel s nekonečně mnoha desetinnými místy. Pak půjdeme hezky odshora, u prvního čísla změníme první desetinné místo za jakoukoliv jinou číslici (dejme tomu o jednotku větší) a to si zapíšeme. U druhého změníme druhé desetinné místo, u třetího třetí a tak budeme pokračovat do nekonečna, až se po nekonečně dlouhé době dopracujeme k poslednímu číslu v nekonečném sloupci. Číslo, které získáme zapisováním pozměněných desetinných míst, ale v posloupnosti nebude. Od každého čísla v posloupnosti se bude lišit minimálně v jednom desetinném čísle. Posloupnost reálných čísel je tedy nejen nekonečná, ale i nespočitatelná, protože budeme vždy schopni vymyslet číslo, které v naší nekonečné posloupnosti není. Uf.

AddThis
0 comments

Téma

Celý vesmír vibruje

Michal Pešta je vystudovaný elektroinženýr, který pracoval na pozicích souvisejících s úsporami energie. Pak mu přišlo, že věda a technika nevysvětlují vše, co ho zajímá, a začal experimentovat s přístroji na využití volné energie.

Téma

Šestiproudovka do nekonečna

V Číně posílají současné představy o tom, jak se staví mosty, do kolen. Koho by napadlo, že tahle stuha pokroucená větrem v sobě skrývá cestu do budoucnosti čínského obchodního světa?

Podobné články: Téma

2018 | 9 | Země All Inclusive

Co jinde nenajdete

Možná máte pocit, že jste ve vesmíru už procestovali úplně všechno. Planeta Země je ale pro každého sběrače galaxií lahůdkou. Útulná velikost, pevný povrch a pestrá nabídka rekreačního vyžití okouzlila už nejednoho cestovatele, a řada z nich se proto na Zemi pravidelně vrací. Nenechte se přemlouvat a zamiřte do Mléčné dráhy, kde vás bezpečně navedou ukazatele. Taky se už těšíte na ledovou tříšť, kmenové války, osmibarevnou duhu a primitivní kabelové vysílání na dvourozměrných plackách?

2018 | 9 | Země All Inclusive

Objevte Zemi: planetu uhlíkových mazlíků!

Možná máte pocit, že jste ve vesmíru už procestovali úplně všechno. Planeta Země je ale pro každého sběrače galaxií lahůdkou. Útulná velikost, pevný povrch a pestrá nabídka rekreačního vyžití okouzlila už nejednoho cestovatele, a řada z nich se proto na Zemi pravidelně vrací. Nenechte se přemlouvat a zamiřte do Mléčné dráhy, kde vás bezpečně navedou ukazatele. Taky se už těšíte na ledovou tříšť, kmenové války, osmibarevnou duhu a primitivní kabelové vysílání na dvourozměrných plackách?

2018 | 9 | Země All Inclusive

Člověk jako domácí mazlík

Po nedávném uvolnění pravidel odchytu exotických tvorů se stále častěji setkáváme s dotazy na zásady správného chovu člověka.
Google+